7 Hằng đẳng thức đáng nhớ

H2. Bình phương của tổng

Hằng đẳng thức:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ý nghĩa: Bình phương của tổng hai số bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích của hai số đó cộng bình phương số thứ hai.

Cách áp dụng:

• Tính bình phương của một tổng.
• Rút gọn biểu thức chứa tổng bình phương.
• Giải phương trình chứa tổng bình phương.

3.1. Các ví dụ

• (x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9
• Rút gọn: (2x - y)² = (2x)² + 2(2x)(-y) + (-y)² = 4x² - 4xy + y²

3.2. Ứng dụng trong giải phương trình

Giải phương trình: x² + 6x + 9 = 0

• Áp dụng hằng đẳng thức: (x + 3)² = 0
• Giải phương trình: x + 3 = 0
• Tìm nghiệm: x = -3

H3. Bình phương của hiệu

Hằng đẳng thức:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Ý nghĩa: Bình phương của hiệu hai số bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích của hai số đó cộng bình phương số thứ hai.

Cách áp dụng:

• Tính bình phương của một hiệu.
• Rút gọn biểu thức chứa hiệu bình phương.
• Giải phương trình chứa hiệu bình phương.

3.1. Các ví dụ

• (x - 5)² = x² - 2(x)(5) + 5² = x² - 10x + 25
• Rút gọn: (3x + 2y)² = (3x)² - 2(3x)(2y) + (2y)² = 9x² - 12xy + 4y²

3.2. Ứng dụng trong giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình:

x² - y² = 1
x + y = 5

• Bình phương hai vế của phương trình thứ hai: (x + y)² = 25
• Áp dụng hằng đẳng thức: x² - y² = (x + y)(x - y)
• Thay thế vào phương trình thứ nhất: (x + y)(x - y) = 1
• Giải hệ phương trình:
  • x - y = 1
  • x + y = 5

H4. Hiệu hai bình phương

Hằng đẳng thức:

a² - b² = (a + b)(a - b)

Ý nghĩa: Hiệu hai bình phương bằng tích của tổng hai số và hiệu hai số đó.

Cách áp dụng:

• Viết một hiệu hai bình phương dưới dạng tích.
• Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Giải phương trình chứa hiệu hai bình phương.

4.1. Các ví dụ

• x² - 9 = (x + 3)(x - 3)
• Phân tích: x⁴ - 16 = (x² + 4)(x² - 4)

4.2. Ứng dụng trong giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình:

x² - y² = 4
x + y = 6

• Áp dụng hằng đẳng thức: x² - y² = (x + y)(x - y)
• Thay thế vào phương trình thứ nhất: (x + y)(x - y) = 4
• Giải hệ phương trình:
  • x - y = 2
  • x + y = 6

H5. Tổng hai lập phương

Hằng đẳng thức:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Ý nghĩa: Tổng hai lập phương bằng tích của tổng hai số với hiệu lập phương của hai số cộng lập phương của tổng hai số.

Cách áp dụng:

• Viết một tổng hai lập phương dưới dạng tích.
• Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Giải phương trình chứa tổng hai lập phương.

5.1. Các ví dụ

• x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4)
• Phân tích: 8x³ + y³ = (2x + y)(4x² - 2xy + y²)

5.2. Ứng dụng trong tìm nghiệm

Tìm nghiệm của phương trình: x³ + 125 = 0

• Áp dụng hằng đẳng thức: x³ + 125 = (x + 5)(x² - 5x + 25)
• Giải phương trình:
  • x + 5 = 0 hoặc x² - 5x + 25 = 0
  • Tìm nghiệm: x = -5, x = (5 ± 5i√3) / 2

H6. Hiệu hai lập phương

Hằng đẳng thức:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Ý nghĩa: Hiệu hai lập phương bằng tích của hiệu hai số với tổng lập phương của hai số trừ lập phương của hiệu hai số.

Cách áp dụng:

• Viết một hiệu hai lập phương dưới dạng tích.
• Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Giải phương trình chứa hiệu hai lập phương.

6.1. Các ví dụ

• x³ - 64 = (x - 4)(x² + 4x + 16)
• Phân tích: y³ - 27x³ = (y - 3x)(y² + 3xy + 9x²)

6.2. Ứng dụng trong rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức: (x - 1)(x² + x + 1) - (x³ - 1)

• Áp dụng hằng đẳng thức: x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
• Rút gọn:

  
  (x - 1)(x² + x + 1) - (x³ - 1)
  = x³ + x² + x - x² - x - 1 - x³ + 1
  = -1
  

H7. Lập phương của tổng

Hằng đẳng thức:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Ý nghĩa: Lập phương của tổng hai số bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích bình phương số thứ nhất với số thứ hai cộng ba lần tích số thứ nhất với bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.

Cách áp dụng:

• Tính lập phương của một tổng.
• Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Giải phương trình chứa lập phương.

7.1. Các ví dụ

• (x + 2)³ = x³ + 3(x²)(2) + 3(x)(2²) + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8
• Phân tích: 27x³ + 8y³ = (3x + 2y)(9x² - 6xy + 4y²)

7.2. Ứng dụng trong phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích thành nhân tử: x³ + 3x²y + 3xy² + y³

• Áp dụng hằng đẳng thức: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• Phân tích:

  
  x³ + 3x²y + 3xy² + y³
  = x³ + 3x²(y) + 3x(y²) + y³
  = (x + y)³
  

Kết luận

• Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là những công cụ hữu ích trong việc giải toán.
• Việc nắm vững và linh hoạt sử dụng các hằng đẳng thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán một cách chính xác và hiệu quả.
• Luyện tập thường xuyên là cách tốt nhất để ghi nhớ và áp dụng thành thạo các hằng đẳng thức.

Mọi thắc mắc quý khách hàng xin vui lòng gửi về số Hotline 1900.868644 hoặc địa chỉ email [email protected] để được giải đáp. Trân trọng!