Bảng Nguyên Hàm và Công Thức Nguyên Hàm Chi Tiết Nhất

Nguyên Hàm Của Các Hàm Phân Thức

Nguyên Hàm Mẫu Thứ Nhất: Hàm Phân Thức Một Biến Với Mẫu Nhị Thức Bậc Hai

• Nếu (ax^2 + bx + c) không có nghiệm thực, đặt (u = ax^2 + bx + c)
• Nếu (ax^2 + bx + c) có hai nghiệm thực phân biệt, đặt (u = ax+ b)

Ví dụ:

• Tính nguyên hàm của (\fracln|x+3| + C$$

   

  Nguyên Hàm Mẫu Thứ Hai: Hàm Phân Thức Một Biến Với Mẫu Nhị Thức Bậc Ba

  • Nếu (ax^3 + bx^2 + cx + d) không có nghiệm thực, đặt (u = ax^3 + bx^2 + cx + d)
  • Nếu (ax^3 + bx^2 + cx + d) có một nghiệm thực, đặt (u = ax^2 + bx + c)
  • Nếu (ax^3 + bx^2 + cx + d) có ba nghiệm thực phân biệt, đặt (u = ax+ b)

  Ví dụ:

  • Tính nguyên hàm của (\fracln|x^3 + 3x^2 + 2x + 1|ln|3x^2+6x+2| + C$$

     

    Nguyên Hàm Mẫu Thứ Ba: Hàm Phân Thức Một Biến Với Mẫu Nhị Thức Bậc Bốn

    • Nếu (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e) không có nghiệm thực, đặt (u = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e)
    • Nếu (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e) có một nghiệm thực, đặt (u = ax^3 + bx^2 + cx + d)
    • Nếu (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e) có hai nghiệm thực phân biệt, đặt (u = ax^2 + bx + c)
    • Nếu (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e) có ba nghiệm thực phân biệt, đặt (u = ax+ b)
    • Nếu (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e) có bốn nghiệm thực phân biệt, đặt (u = a)

    Nguyên Hàm Của Các Hàm Lượng Giác

    Nguyên Hàm Hàm Sin và Cos

    • (∫sin x dx = -cosx + C)
    • (∫cos x dx = sin x + C)

    Ứng dụng:

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục Ox, x = 0 và x = π.

    • Diện tích: S = |∫0π sin x dx| = |-cos x |0π | = |-cos π + cos 0 | = 2

    Nguyên Hàm Hàm Tang và Cotang

    • (∫tan x dx = ln|sec x| + C)
    • (∫cot x dx = ln|sin x| + C)

    Ứng dụng:

    Tính nguyên hàm của: (∫\frac + C$$

    Nguyên Hàm Hàm Sec và Cosec

    • (∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C)
    • (∫cosec x dx = ln|cosec x - cot x| + C)

    Ứng dụng:

    Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosec x, trục Ox, x = 0 và x = π/2 xung quanh trục Ox.

    • Bán kính khối tròn xoay tại điểm (x) là cosec x
    • Thể tích:

    $$V = π∫0π/2 cosec2 x dx = π∫0π/2 (1 + cot2 x) dx$$

    $$= π∫0π/2 dx + π∫0π/2 cot2 x dx$$

    $$= πx |0π/2 + π∫0π/2 cot2 x dx$$

    $$= \frac$$

    Nguyên Hàm Của Các Hàm ƯỚc Lượng

    Nguyên Hàm Hàm Ước Lượng Với Mũ Phân Số

    • (∫x^n dx = \fracπR^3]

       

      Nguyên Hàm Hàm Số Mũ

      • (∫a^x dx = \frac)|

      Nguyên Hàm Các Hàm Đặc Biệt

      Nguyên Hàm Hàm Lũy Thừa

      • (∫e^x dx = e^x + C)

      Ứng dụng:

      Tính diện tích dưới đường cong (y = e^x) trong khoảng từ x = 0 đến x = 1.

      • Diện tích: S = |∫01 e^x dx| = |e^x|01 = |e^1 - e^0| = |e - 1|

      Nguyên Hàm Hàm Logarit

      • (∫log_a(x) dx = x * log_a(x) - x + C)

      Ứng dụng:

      Tính nguyên hàm của: (∫\fracdx = xlog_e(x) - ∫dx = xlog_e(x) - x + C]

      Kết luận

      Trong toán học, việc tính toán nguyên hàm của các hàm số là một phần quan trọng của việc giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích, thể tích và giải phương trình vi phân. Việc áp dụng các công thức nguyên hàm phù hợp cùng với việc đặt (u) để biến đổi hàm phức tạp thành dạng đơn giản sẽ giúp giải quyết các bài toán nhanh chóng và hiệu quả. Bảng nguyên hàm tổng hợp các công thức và quy tắc trên sẽ là công cụ hữu ích cho việc tính toán trong lĩnh vực tích phân.

Mọi thắc mắc quý khách hàng xin vui lòng gửi về số Hotline 1900.868644 hoặc địa chỉ email luathoanhut.vn@gmail.com để được giải đáp. Trân trọng!