Công thức Nguyên Hàm

Trong giải tích, tìm nguyên hàm của một hàm số là một phép toán ngược lại của phép tính đạo hàm. Nguyên hàm đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn như tính diện tích, thể tích hoặc mô hình hóa các hiện tượng vật lý. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn toàn diện về các công thức nguyên hàm, bao gồm các công thức cơ bản, quy tắc tích phân và các mẹo để giải các bài toán nguyên hàm thường gặp.

Hàm Đơn Giản

Hàm bậc nhất

Công thức: $\int ax + b \, dx = \fracx^2 + bx + C$

Hàm bậc hai

Công thức: $\int x^2 + ax + b \, dx = \fracx^2 + bx + C$

Hàm mũ cơ số e

Công thức: $\int e^x \, dx = e^x + C$

Hàm logarit cơ số e

Công thức: $\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$

Hàm lượng giác

Công thức: $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
Công thức: $\int \cos x \, dx = \sin x + C$

Quy Tắc Tích Phân

Quy tắc tích phân tổng

Công thức: $\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

Quy tắc tích phân hiệu

Công thức: $\int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx$

Quy tắc tích phân hằng số

Công thức: $\int a \, dx = ax + C$

Quy tắc tích phân tích phân theo từng phần

Công thức: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Kỹ Thuật Tích Phân

Phân tích thành nhiều phần

Chia hàm số thành các hàm đơn giản hơn, tìm nguyên hàm của từng phần rồi cộng lại.

Rút nhân tử chung

Rút nhân tử chung ra khỏi biểu thức dưới tích phân và sử dụng quy tắc tích phân hằng số.

Thay đổi biến số

Đặt $u = g(x)$, sau đó thay đổi giới hạn tích phân theo biến $u$.

Sử dụng bảng nguyên hàm

Sử dụng bảng nguyên hàm có sẵn để tra cứu các dạng nguyên hàm phổ biến.

Các Bài Tập Thực Hành

Tính nguyên hàm của $f(x) = x^2 + 2x + 1$

Giải pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm bậc hai: $\int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \fracx^3 + x^2 + x + C$

Tính nguyên hàm của $f(x) = \sin x + \cos x$

Giải pháp: Sử dụng quy tắc tích phân tổng: $\int (\sin x + \cos x) \, dx = \int \sin x \, dx + \int \cos x \, dx = -\cos x + \sin x + C$

Tính nguyên hàm của $f(x) = x e^x$

Giải pháp: Sử dụng quy tắc tích phân tích phân theo từng phần với $u = x$ và $dv = e^x$ cho $v = e^x$ và $du = dx$. $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C$

Kết Luận

Hiểu và áp dụng các công thức nguyên hàm là một kỹ năng thiết yếu trong giải tích. Bằng cách nắm vững các phương pháp trình bày trong bài viết này, bạn sẽ có thể giải quyết các bài toán nguyên hàm phức tạp hơn và mở rộng kiến thức toán học của mình.

Mọi thắc mắc quý khách hàng xin vui lòng gửi về số Hotline 1900.868644 hoặc địa chỉ email luathoanhut.vn@gmail.com để được giải đáp. Trân trọng!