H2.1 Đặc Điểm Của Cấp Số Nhân
a) Công sai không đổi: Đặc điểm nổi bật của cấp số nhân là các số hạng liên tiếp có công sai không đổi. Công sai ký hiệu là "q" và được tính bằng cách chia số hạng sau cho số hạng trước. Ví dụ: Cấp số nhân (2, 4, 8, 16) có công sai q = 2.
b) Số hạng tổng quát: Số hạng thứ n của một cấp số nhân được cho bởi công thức Un = a1 * q^(n-1), trong đó:
- Un là số hạng thứ n
- a1 là số hạng đầu tiên
- q là công bội
- n là số thứ tự của số hạng
c) Tổng n số hạng đầu tiên: Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân được tính bằng công thức Sn = a1*(1-q^n)/(1-q), trong đó:
- Sn là tổng n số hạng đầu tiên
- a1 là số hạng đầu tiên
- q là công bội
- n là số hạng cuối cùng
H2.2 Công Bội Là Gì?
Công bội là hằng số không đổi được nhân với mỗi số hạng để tạo ra số hạng tiếp theo trong cấp số nhân. Nó là yếu tố quyết định mức độ tăng hoặc giảm của dãy số. Nếu công bội q > 1, dãy số tăng; nếu q 1. Ví dụ: (2, 4, 8, 16, 32)
b) Cấp số nhân giảm: Các số hạng liên tiếp đều giảm. Công bội q < 1. Ví dụ: (8, 4, 2, 1, 0,5)
c) Cấp số nhân không đổi: Các số hạng đều bằng nhau. Công bội q = 1. Ví dụ: (5, 5, 5, 5, 5)
H2.5 Bài Tập Cấp Số Nhân
a) Bài tập 1: Cho cấp số nhân (3, 9, 27, 81). Tìm công bội và số hạng thứ 6.
- Công bội: q = 9/3 = 27/9 = 3
- Số hạng thứ 6: U6 = 3 3^(6-1) = 3 3^5 = 2187
b) Bài tập 2: Một khoản tiền 10 triệu đồng được gửi vào ngân hàng với lãi suất kép 6% một năm. Hỏi sau 5 năm, số tiền trong tài khoản là bao nhiêu? (Giả sử lãi không rút ra)
- Số hạng đầu tiên: a1 = 10 triệu đồng
- Công bội: q = 1 + 6/100 = 1,06
- Số hạng thứ 5: U5 = 10 * 1,06^5 = 1338225,60 (đồng)
c) Bài tập 3: Một quần thể vi khuẩn có 1000 con. Biết rằng cứ sau mỗi giờ, số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi. Hỏi sau 10 giờ, quần thể vi khuẩn có bao nhiêu con?
- Số hạng đầu tiên: a1 = 1000 con
- Công bội: q = 2
- Số hạng thứ 10: U10 = 1000 * 2^10 = 1024000 con
H2.6 Ứng Dụng Của Cấp Số Nhân
Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
a) Tính tăng trưởng dân số: Các mô hình dân số thường được mô tả bằng cấp số nhân với công bội đại diện cho tỷ lệ tăng trưởng.
b) Phân rã phóng xạ: Sự phân rã phóng xạ của các nguyên tử theo cấp số nhân theo thời gian với công bội phụ thuộc vào chu kỳ bán rã.
c) Lãi kép: Số tiền trong tài khoản tiết kiệm tăng theo cấp số nhân với công bội bằng 1 cộng với lãi suất.
Kết luận
Cấp số nhân là một dạng cấp số quan trọng với nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Hiểu rõ về các đặc điểm, công thức và bài tập liên quan đến cấp số nhân sẽ giúp chúng ta giải quyết các vấn đề liên quan một cách hiệu quả trong các lĩnh vực như kinh tế, sinh học, vật lý và nhiều lĩnh vực khác.
Mọi thắc mắc quý khách hàng xin vui lòng gửi về số Hotline 1900.868644 hoặc địa chỉ email [email protected] để được giải đáp. Trân trọng!
