Bảng Nguyên Hàm Cơ Bản
Hàm số | Nguyên hàm- | -- (x^n) | (\frac) (e^x) | (e^x) (\ln(x)) | (x\ln(x)-x) (\sin(x)) | (-\cos(x)) (\cos(x)) | (\sin(x)) (\tan(x)) | (-\ln(|\cos(x)|)) (\sec(x)) | (\ln(| \sec(x) + \tan(x)|)) (\csc(x)) | (-\ln(| \csc(x) + \cot(x)|))
Ví dụ về Nguyên hàm Cơ bản
- Tìm nguyên hàm của (\sin(x)). Theo bảng trên, nguyên hàm của (\sin(x)) là (-\cos(x)).
- Tìm nguyên hàm của (\ln(x)). Theo bảng, nguyên hàm của (\ln(x)) là (x\ln(x)-x).
Công Thức Tích Phân Hợp
Công thức | Ví dụ- | -- (\int u dv = uv - \int v du) | (\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx) (\int u/v dv = (u/v) v - \int (v'/v) u dv) | (\int x / e^x dx = (x/e^x) e^x - \int (e^x/e^x) x dx)
Ví dụ về Công thức Tích Phân Hợp
- Tìm nguyên hàm của (x\sin(x)). Đặt (u=x), (dv=\sin(x)dx). Ta có (du=dx), (v=-\cos(x)). Áp dụng công thức tích phân hợp, ta được: $$\int x\sin(x) dx = x(-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) dx = -x\cos(x) + \sin(x)$$
- Tìm nguyên hàm của (e^x / x). Đặt (u=e^x), (dv=1/xdx). Ta có (du=e^x dx), (v=\ln(x)). Áp dụng công thức tích phân hợp, ta được: $$\int e^x / x dx = e^x \ln(x) - \int \ln(x) e^x dx$$
Công Thức Thay Đổi Biến
Công thức | Ví dụ- | -- (\int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + C) | (\int \sin(2x) dx = -\frac\cos(2x) + C) (\int f'(x) f(x) dx = \frac x^2 e^x + C)
Ví dụ về Công thức Thay Đổi Biến
- Tìm nguyên hàm của (\sin(2x)). Đặt (u=2x). Ta có (du=2dx), (\sin(2x)=\sin(u)). Áp dụng công thức thay đổi biến, ta được: $$\int \sin(2x) dx = \int \sin(u) \frace^u). Áp dụng công thức thay đổi biến, ta được: $$\int xe^x dx = \int \sqrt x^2 e^x + C$$
Công Thức Nguyên Hàm Bằng Phần
Công thức | Ví dụ- | -- (\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx) | (\int x \cos(x) dx = x\sin(x) - \int \sin(x) dx) (\int \frac + C)
Ví dụ về Công thức Nguyên Hàm Bằng Phần
- Tìm nguyên hàm của (x\cos(x)). Đặt (f(x)=x), (g'(x)=\cos(x)). Ta có (f'(x)=1), (g(x)=\sin(x)). Áp dụng công thức nguyên hàm bằng phần, ta được: $$\int x\cos(x) dx = x\sin(x) - \int \sin(x) dx = x\sin(x) + \cos(x) + C$$
- Tìm nguyên hàm của (\frac). Áp dụng công thức nguyên hàm bằng phần, ta được: $$\int \frac - \ln(|x+1|) + C$$
Công Thức Nguyên Hàm Bù
Công thức | Ví dụ- | -- (\int f(x) dx = \int_c^a f(t) dt + \int_a^b f(t) dt) | (\int_2^5 x^2 dx = \int_2^3 x^2 dx + \int_3^5 x^2 dx) (\int f(x) dx = \int f(a+b-x) dx) | (\int_0^ \sin(\pi/2-x) dx)
Ví dụ về Công thức Nguyên Hàm Bù
- Tìm nguyên hàm của (x^2) trên khoảng ([2,5]). Theo công thức nguyên hàm bù, ta có: $$\int_2^5 x^2 dx = \int_2^3 x^2 dx + \int_3^5 x^2 dx$$
- Tìm nguyên hàm của (\sin(x)) trên khoảng ([0,\pi/2]). Theo công thức nguyên hàm bù, ta có: $$\int_0^ \sin(\pi/2-x) dx$$
Công Thức Nguyên Hàm Phân Thức Hữu Hạn
Công thức | Ví dụ- | -- (\int \frac) (\int \frac)
Ví dụ về Công thức Nguyên Hàm Phân Thức Hữu Hạn
- Tìm nguyên hàm của \(\frac). Áp dụng phân rã thành phân thức hữu hạn, ta có: $$\frac$$ Nhân hai vế cho (x(x-1)), ta được: $$1 = A(x-1) + Bx$$ Giải phương trình này, ta có (A=-1) và (B=1). Vậy nguyên hàm của (\frac) là: $$\int \frac). Áp dụng phân rã thành phân thức hữu hạn, ta có: $$\frac$$ Nhân hai vế cho ((x-1)(x-2)(x-3)), ta được: $$1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$$ Giải phương trình này, ta có (A=\frac) là: $$\int \frac + C$$
Kết luận
Trong bài viết này, chúng ta đã đi qua một số công thức và phương pháp hay được sử dụng trong việc tính toán nguyên hàm. Việc hiểu biết về các công thức này không chỉ giúp chúng ta giải quyết các bài toán tích phân mà còn giúp tăng cường kiến thức và kỹ năng toán học tổng quát.
Để trở thành một chuyên gia về nguyên hàm, việc thực hành là rất quan trọng. Hãy rèn luyện kỹ năng của mình thông qua việc giải nhiều bài tập và ứng dụng những kiến thức đã học vào thực tế. Chúc các bạn học tốt và thành công trên con đường chinh phục toán học!
Mọi thắc mắc quý khách hàng xin vui lòng gửi về số Hotline 1900.868644 hoặc địa chỉ email [email protected] để được giải đáp. Trân trọng!
